$\vec A\, = \,(\hat i\, + \,\hat j)$ અને $\vec B\, = \,(2\hat i\, - \,\hat j)$ આપેલ છે. સમતલ સદિશ $\vec C$ નું મૂલ્ય શેના વડે આપવામાં આવે, કે જેથી $\vec A\cdot \vec C\, = \,\vec B\cdot \vec C\, = \vec A\cdot \vec B$ થાય?

ત્રણ સદિશો $\vec{A}=(-x \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k}), \vec{B}=(-\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})$ અને $\vec{C}=(-8 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ માટે જો $\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=0$ હોય તો $x$ નું મૂલ્ચ. . . . . .છે.

અહી બે સદીશો $\mathop A\limits^ \to  \,\, = \,\,3\hat i\,\, + \;\,\hat j\,$ અને $\mathop B\limits^ \to  \,\, = \,\,\hat j\,\, + \,2\hat k$ આપેલ છે. આ બે સદીશો માટે  $\mathop A\limits^ \to  $ અને $\mathop B\limits^ \to  $ બંને લંબ હોય તો એકમ સદિશ શોધો.

જો $\mathop {\,{\text{A}}}\limits^ \to  \,\, \times \;\,\mathop {\text{B}}\limits^ \to  \,\, = \,\,\mathop 0\limits^ \to  \,$ અને  $\mathop {\,{\text{B}}}\limits^ \to  \,\, \times \;\,\mathop {\text{C}}\limits^ \to  \,\, = \,\,\mathop 0\limits^ \to  $ હોય તો $\mathop {\,{\text{A}}}\limits^ \to  \,$ અને $\mathop {\text{C}}\limits^ \to  $ વચ્ચેનો ખૂણો ક્યો હશે ? 

ત્રણ કણ ${P}, {Q}$ અને ${R}$ અનુક્રમે સદીશ ${A}=\hat{{i}}+\hat{{j}}, {B}=\hat{{j}}+\hat{{k}}$ અને ${C}=-\hat{{i}}+\hat{{j}}$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે. તે એક બિંદુ પર અથડાય છે અને જુદી જુદી દિશામાં ગતિ કરે છે. હવે કણ $P$ એ સદીશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ ગતિ કરે છે. તેવી જ રીતે કણ $Q$ એ સદીશ $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ ગતિ કરે છે. કણ $P$ અને $Q$ ની ગતિની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ છે. તો $x$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

$\left( {\,{\rm{2\hat i}}\,\, + \;\,{\rm{3\hat j}}\,\, + \;\,{\rm{\hat k}}\,} \right)$ અને $\left( {\, - 3\hat i\,\, + \;\,6\hat k\,} \right)$ બે સદીશો વચ્ચેનો ખૂણો ......  $^o$ હોય.